Разделы сайта
Выбор редакции:
- «Красный эшелон», агитпоезд
- Шокирующие традиции папуасов, которые поймет не каждый Как попасть в эти Затерянные миры
- Гадаем дома: три гадания на любовь Гадание самой себе на будущее
- Ароматные лепешки с творогом на сухой сковороде Жареные лепешки с творогом и зеленью
- Молдавские пирожки вэрзэре
- Рецепт как приготовить мексиканскую смесь
- Мексиканская смесь: рецепты Мексиканская смесь тушеная
- Загляни в свое будущее с помощью гадания на игральных картах
- Известные женщины с именем Ксения
- Вооруженные силы рф и их предназначение
Реклама
Преобразовать рациональное выражение. Грамотное преобразование рациональных выражений |
Преобразование рациональных выражений В этом уроке поработаем с рациональными выражениями. На конкретных примерах рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций, возведения в натуральную степень, и знаков последовательности этих действий (скобок). Вместе со словосочетанием «рациональное выражение» в алгебре используют иногда термины «целое» или «дробное». Например, выражения являются и рациональными, и целыми. Выражения являются и рациональными, и дробными, т.к. в знаменателе находится выражение с переменной. Не надо забывать, что дробь теряет смысл, если знаменатель обращается в нуль. Основной целью урока будет приобретение опыта при решении задач на упрощение рациональных выражений. Упрощение рациональных выражений — это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения (сделать короче и удобнее для дальнейшей работы). Для преобразования рациональных выражений нам потребуются правила сложения (вычитания), умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, все эти действия совершаются по тем же правилам, что и действия с обыкновенными дробями: А также формулы сокращенного умножения: При решении примеров по преобразованию рациональных выражений следует соблюдать следующий порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем произведение/деление (либо возведение в степень), а затем действия сложения/вычитания. Итак, рассмотрим пример 1: необходимо упростить выражение Во-первых, выполняем действия в скобках. Приводим алгебраические дроби к общему знаменателю и осуществляем сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями по правилам, записанным выше. Используя формулу сокращенного выражения (а именно квадрат разности), полученное выражение принимает вид: Во-вторых, по правилам умножения алгебраических дробей перемножаем числители и отдельно знаменатели: А затем сокращаем полученное выражение: В результате проведенных преобразований получаем простое выражение Рассмотрим более сложный пример 2 преобразования рациональных выражений: необходимо доказать тождество: Доказать тождество - это установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны. Доказательство: Чтобы доказать данное тождество, необходимо преобразовать выражение в левой части. Для этого следует соблюдать порядок действий, изложенный выше: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение, а затем уже сложение. Итак, действие 1: выполнить сложение/вычитание выражения в скобке. Для этого раскладываем на множители выражения в знаменателях дробей и приводим данные дроби к общему знаменателю. Так в знаменателе первой дроби выносим за скобку 3, в знаменателе второй - выносим знак минус и по формуле сокращенного умножения раскладываем на два множителя, а в знаменателе третьей дроби выносим за скобку x. Общим знаменателем этих трех дробей будет выражение Действие 2: выполнить умножение дроби Для этого прежде следует разложить на множители числитель первой дроби и возвести эту дробь в степень 2. А при умножении дробей выполнить соответствующее сокращение. Действие 3: Суммируем первую дробь исходного выражения и получившуюся дробь Для этого сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и сократим: Теперь остается только сложить полученные алгебраические дроби с разными знаменателями: Таким образом, в результате 3-х действий и упрощения левой части тождества мы получили выражение из правой его части, а следовательно, доказали это тождество. Однако напомним, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменной x. Таковыми в данном примере являются любые значения x, кроме тех, которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми являются любые значения x, кроме тех, при которых выполняется хотя бы одно из равенств: Недопустимыми будут значения: Итак, на конкретных примерах мы рассмотрели решение задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств. Список использованной литературы:
Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления. Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы . 1. Теоретические основы тождественных преобразований Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий. https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> – алгебраические выражения. В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения. Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а , b , с , … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень. Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной. Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве. В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты. 1. Свойства степеней с целым показателем: , n ÎN; а 1=а ; , n ÎN, а ¹0; а 0=1, а ¹0; , а ¹0; , а ¹0; , а ¹0; , а ¹0, b ¹0; , а ¹0, b ¹0. 2. Формулы сокращенного умножения: где а , b , с – любые действительные числа; Где а ¹0, х 1 и х 2 – корни уравнения . 3. Основное свойство дроби и действия над дробями: , где b ¹0, с ¹0; ; ; 4. Определение арифметического корня и его свойства: ; , b ¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ; , где а , b – неотрицательные числа, n ÎN, n ³2, m ÎN, m ³2. 1. Типы упражнений на преобразование выражений Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип : явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить. Например. 1. Представьте в виде многочлена . При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых. 2. Разложите на множители: . При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за скобку и 2 формулы сокращенного умножения. 3. Сократите дробь: . При выполнении преобразования использовали вынесение общего множителя за скобку, переместительный и сократительный законы, 2 формулы сокращенного умножения, действия над степенями. 4. Вынесите множитель из-под знака корня, если а ³0, b ³0, с ³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" width="432" height="27"> Использовали правила действий над корнями и определение модуля числа. 5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби . Второй тип упражнений – это упражнения, в которых явно указано то главное преобразование, которое необходимо выполнить. В таких упражнениях требование обычно сформулировано в одном из видов: упростить выражение, вычислить. При выполнении таких упражнений необходимо прежде всего выявить, какие и в каком порядке необходимо выполнить преобразования, чтобы выражение приняло более компактный вид, чем данное, или получился числовой результат. Например 6. Упростите выражение: Решение: . Использовали правила действий над алгебраическими дробями и формулы сокращенного умножения. 7. Упростить выражение: . Если а ³0, b ³0, а ¹b . Использовали формулы сокращенного умножения, правила сложения дробей и умножения иррациональных выражений, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">. Использовали операцию выделения полного квадрата, тождество https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, если . Доказательство: Так как , то и или или или , т. е. . Использовали условие и формулу суммы кубов. Надо иметь в виду, что условия, связывающие переменные, могут быть заданы и в упражнениях первых двух типов. Например. 10. Найдите , если . Урок и презентация на тему: "Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Понятие о рациональном выраженииПонятие "рациональное выражение" схоже с понятием "рациональная дробь". Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас - не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь - дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь. Порядок действий с рациональными выражениямиПорядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны. Примеров с доказательством тождеств очень много. К основным способам решения тождеств относятся.
Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задачПример 1.Докажите тождество: $(\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}):{\frac{a^2+5a}{1-5a}}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1$. Решение. 1) $\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}=\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=$ Выносить общие множители надо стараться по максимуму. $\frac{a^2+5a}{1-5a}=\frac{a(a+5)}{(1-5a}=\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}$ .3) Выполним операцию деления: $\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}:\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}*\frac{-(5a-1)}{a(a+5)}=\frac{-6}{a+1}$. 4) Выполним операцию сложения: $\frac{-6}{a+1}+\frac{a^2+5}{a+1}=\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+})=a-1$. Правая и левая части совпали. Значит, тождество доказано. Пример 2.
$(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}):(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})$. Решение. 1. $\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}=\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b)^2}=$ 2. Преобразуем вторые скобки. $\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-a^2}{(a-b)(a+b)}=$ 3. Выполним деление. $\frac{a^2b}{(a+b)^2}:\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}*\frac{(a-b)(a+b)}{(-ab)}=$ Ответ: $-\frac{a(a-b)}{a+b}$. Пример 3.
$\frac{k-4}{k-2}:(\frac{80k}{(k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k})-\frac{6k+4}{(4-k)^2}$. Решение. Как всегда надо начинать со скобок. 1. $\frac{80k}{k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k}=\frac{80k}{(k-2)(k^2+2k+4)} +\frac{2k}{k^2+2k+4}+\frac{k-16}{k-2}=$ $=\frac{80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4)}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{80k+2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=$ $=\frac{k^3-12k^2+48k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}$. 2. Теперь выполним деление. $\frac{k-4}{k-2}:\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{k-4}{k-2}*\frac{(k-2)(k^2+2k+4)}{(k-4)^3}=\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}$. 3. Воспользуемся свойством: $(4-k)^2=(k-4)^2$. $\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}-\frac{6k+4}{(k-4)^2}=\frac{k^2-4k}{(k-4)^2}=\frac{k(k-4)}{(k-4)^2}=\frac{k}{k-4}$. Как мы раньше говорили, упрощать дробь надо максимально. Ответ: $\frac{k}{k-4}$. Задачи для самостоятельного решения1. Докажите тождество:$\frac{b^2-14}{b-4}-(\frac{3-b}{7b-4}+\frac{b-3}{b-4})*\frac{4-7b}{9b-3b^2}=b+4$. 2. Упростите выражение: $\frac{4(z+4)^2}{z-2}*(\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z})$. 3. Выполните действия: $(\frac{a-b}{a^2+2ab+b^2}-\frac{2a}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)^2})*\frac{a^4-b^4}{8ab^2}+\frac{2b^2}{a^2-b^2}$. На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование. Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях Определение Рациональное выражение - это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень. Рассмотрим пример рационального выражения: Частные случаи рациональных выражений: 1. степень: ; 2. одночлен: ; 3. дробь: . Преобразование рационального выражения - это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания). Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений. Пример 1 Решение: Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках. Ответ: Пример 2 Решение: Ответ: Пример 3 Решение: Ответ: . Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом. Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым. На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования , а также несколько конкретных примеров данных преобразований. Список литературы 1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004. 2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010. Эта статья посвящена преобразованию рациональных выражений , преимущественно дробно рациональных, – одному из ключевых вопросов курса алгебры для 8 классов. Сначала мы напомним, выражения какого вида называют рациональными. Дальше остановимся на проведении стандартных преобразований с рациональными выражениями, таких как группировка слагаемых, вынесение за скобки общих множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Наконец, научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей. Навигация по странице. Определение и примеры рациональных выраженийРациональные выражения являются одним из видов выражений , изучаемых на уроках алгебры в школе. Дадим определение. Определение. Выражения, составленные из чисел, переменных, скобок, степеней с целыми показателями, соединенных с помощью знаков арифметических действий +, −, · и:, где деление может быть обозначено чертой дроби, называются рациональными выражениями . Приведем несколько примеров рациональных выражений: . Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями , то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены , а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений . В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями . При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями ), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей . Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем. Основные виды преобразований рациональных выраженийС рациональными выражениями можно проводить любые из основных тождественных преобразований , будь то группировка слагаемых или множителей, приведение подобных слагаемых, выполнение действий с числами и т.п. Обычно целью выполнения этих преобразований является упрощение рационального выражения . Пример. . Решение. Понятно, что данное рациональное выражение представляет собой разность двух выражений и , причем данные выражения являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть. Таким образом, мы можем выполнить приведение подобных слагаемых : Ответ: . Понятно, что при проведении преобразований с рациональными выражениями, как, впрочем, и с любыми другими выражениями, нужно оставаться в рамках принятого порядка выполнения действий . Пример. Выполните преобразование рационального выражения . Решение. Мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках. Поэтому в первую очередь преобразуем выражение в скобках: 3·x−x=2·x . Теперь можно подставить полученный результат в исходное рациональное выражение: . Так мы пришли к выражению, содержащему действия одной ступени – сложение и умножение. Избавимся от скобок в конце выражения, применив свойство деления на произведение: . Наконец, мы можем сгруппировать числовые множители и множители с переменной x, после чего выполнить соответствующие действия с числами и применить : . На этом преобразование рационального выражения завершено, и в результате мы получили одночлен. Ответ: Пример. Преобразуйте рациональное выражение . Решение. Сначала преобразуем числитель и знаменатель. Такой порядок преобразования дробей объясняется тем, что черта дроби по своей сути есть другое обозначение деления, и исходное рациональное выражение по сути есть частное вида , а действия в скобках выполняются в первую очередь. Итак, в числителе выполняем действия с многочленами, сначала умножение, затем – вычитание, а в знаменателе сгруппируем числовые множители, и вычислим их произведение: . Еще представим числитель и знаменатель полученной дроби в виде произведения: вдруг возможно сокращение алгебраической дроби . Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов , а в знаменателе вынесем двойку за скобки, имеем . Ответ: . Итак, начальное знакомство с преобразованием рациональных выражений можно считать состоявшимся. Переходим, так сказать, к самому сладкому. Представление в виде рациональной дробиНаиболее часто конечной целью преобразования выражений является упрощение их вида. В этом свете самым простым видом, к которому можно преобразовать дробно рациональное выражение, является рациональная (алгебраическая) дробь, и в частном случае многочлен, одночлен или число. А любое ли рациональное выражение возможно представить в виде рациональной дроби? Ответ утвердительный. Поясним, почему это так. Как мы уже сказали, всякое рациональное выражение можно рассматривать как многочлены и рациональные дроби, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Все соответствующие действия с многочленами дают многочлен или рациональную дробь. В свою очередь любой многочлен можно преобразовать в алгебраическую дробь, записав его со знаменателем 1 . А сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей в результате дают новую рациональную дробь. Следовательно, выполнив все действия с многочленами и рациональными дробями в рациональном выражении, мы получим рациональную дробь. Пример. Представьте в виде рациональной дроби выражение . Решение. Исходное рациональное выражение представляет собой разность дроби и произведения дробей вида . Согласно порядку выполнения действий мы сначала должны выполнить умножение, а уже потом – сложение. Начинаем с умножения алгебраических дробей : Подставляем полученный результат в исходное рациональное выражение: . Мы пришли к вычитанию алгебраических дробей с разными знаменателями: Итак, выполнив действия с рациональными дробями, составляющими исходное рациональное выражение, мы его представили в виде рациональной дроби . Ответ: . Для закрепления материала разберем решение еще одного примера. Пример. Представьте рациональное выражение в виде рациональной дроби. |
Популярное:
Новое
- Шокирующие традиции папуасов, которые поймет не каждый Как попасть в эти Затерянные миры
- Гадаем дома: три гадания на любовь Гадание самой себе на будущее
- Ароматные лепешки с творогом на сухой сковороде Жареные лепешки с творогом и зеленью
- Молдавские пирожки вэрзэре
- Рецепт как приготовить мексиканскую смесь
- Мексиканская смесь: рецепты Мексиканская смесь тушеная
- Загляни в свое будущее с помощью гадания на игральных картах
- Известные женщины с именем Ксения
- Вооруженные силы рф и их предназначение
- Военная академия материально-технического обеспечения имени генерала армии А