Разделы сайта
Выбор редакции:
- Чтобы милый заскучал: действенные заговоры на тоску Самый сильный заговор на переклад тоски
- Информация для влюбленных: самые совместимые знаки зодиака
- Русскую авиабазу в Сирии обстреляла «замирённая» группировка исламистов А что Россия
- Мини-гид по Калмыкии: Тюльпановые поля, буддизм и Время цветения тюльпанов в калмыкии
- Какое пиво считается самым лучшим в мире
- Параллельные прямые. Визуальный гид (2019). Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский? Лобачевский о параллельных прямых
- Причины сокращения биоразнообразия К чему обеспокоены сокращения биоразнообразия на планете
- Записи с меткой тема родины в творчестве бунина
- Есть ли жизни после смерти и какая она: мнение экстрасенсов и медиумов Что происходит с человеком, когда он умирает
- Гадание на год "панорама года" Гадание на картах таро три года
Реклама
Логарифм 1000 по основанию 10. Логарифм |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Этот логарифм является решением показательного уравнения . Иногда (особенно в зарубежной литературе) десятичный логарифм обозначается еще как , хотя первые два обозначения присущи и натуральному логарифму. Первые таблицы десятичных логарифмов были опубликованы английским математиком Генри Бригсом (1561-1630) в 1617 г. (поэтому иностранные ученые часто называют десятичные логарифмы еще бригсовыми), но эти таблицы содержали ошибки. На основе таблиц (1783 г.) словенского и австрийского математики Георга Барталомея Веги (Юрий Веха или Веховец, 1754-1802) в 1857 г. немецкий астроном и геодезист Карл Бремикер (1804-1877) опубликовал первое безошибочное издание. При участии русского математика и педагога Леонтия Филипповича Магницкого (Телятин или Теляшин, 1669-1739) в 1703 г. в России были изданы первые таблицы логарифмов. Десятичные логарифмы широко применялись для вычислений. Свойства десятичных логарифмовЭтот логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию: 1. Основное логарифмическое тождество: 5. . 7. Переход к новому основанию: Функция десятичного логарифма — это функция . График этой кривой часто называют логарифмикой . Свойства функции y=lg x1) Область определения: . 2) Множество значений: . 3) Функция общего вида. 4) Функция непериодическая. 5) График функции пересекается с осью абсцисс в точке . 6) Промежутки знакопостоянства: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для та для . Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы. А теперь — собственно, определение логарифма:
Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм. Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64. Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число. Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку: [Подпись к рисунку] Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает. С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1. Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 . Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям. Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше. Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один; Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя. Десятичный логарифмНекоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д. Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать: Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных. Натуральный логарифмСуществует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Многие спросят: что еще за число e
? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры: Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e
— основание натурального логарифма: Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0. Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов. Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 . Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять. Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками. Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма. Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }. Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010. Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349. Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам. Характерные признаки десятичных логарифмов.Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа. Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5. Обобщенно, если То а = 10 n , из чего получаем lg a = lg 10 n = n lg 10 = п . Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен - п , где п - численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых. Рассмотрим, lg 0,001 = - 3, lg 0,000001 =-6. Обобщенно, если , То a = 10 -n и получается lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну. Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1. И правда, 10 < 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод lg 10 < lg 75,631 < lg 100, 1 < lg 75,631 < 2. Отсюда следует, lg 75,631 = 1 +б, Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется. Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Дизель-электроход ленин. Речная старина |
Новое
- Информация для влюбленных: самые совместимые знаки зодиака
- Русскую авиабазу в Сирии обстреляла «замирённая» группировка исламистов А что Россия
- Мини-гид по Калмыкии: Тюльпановые поля, буддизм и Время цветения тюльпанов в калмыкии
- Какое пиво считается самым лучшим в мире
- Параллельные прямые. Визуальный гид (2019). Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский? Лобачевский о параллельных прямых
- Причины сокращения биоразнообразия К чему обеспокоены сокращения биоразнообразия на планете
- Записи с меткой тема родины в творчестве бунина
- Есть ли жизни после смерти и какая она: мнение экстрасенсов и медиумов Что происходит с человеком, когда он умирает
- Гадание на год "панорама года" Гадание на картах таро три года
- Онлайн гадания на картах ленорман